Aldo Finzi nasce a Milano il 4 febbraio 1897 da antica famiglia ebrea originaria di Mantova in cui l'amore per la musica è tradizionale (una zia di Aldo Finzi, sorella del padre, fu celebre soprano: Giuseppina Finzi Magrini).

Compiuti gli studi classici al liceo Parini di Milano, si laureò in giurisprudenza all'Università di Pavia mentre, contemporaneamente, si diplomava in composizione come privatista al Conservatorio S. Cecilia di Roma.
Ebbe ben presto successo e fama tra i giovani musicisti italiani: liriche, musica da camera, sinfonica, un'opera comica "La serenata al vento", un'opera drammatica ispiratagli dalle persecuzione antisemita "Shylock", rimasta incompiuta, figurano fra le sue composizioni.
A 24 anni era divenuto uno degli autori le cui opere venivano pubblicate da Ricordi, mentre in precedenza ebbe come editori Fantuzzi e Sonzogno.
Nel catalogo Ricordi del 1931 si menzionano fra le sue composizioni "Il chiostro" per voci femminili e orchestra, i poemi sinfonici "Cirano di Bergerac", segnalato in un concorso della cui commissione giudicatrice facevano parte Toscanini e Pizzetti, e "Inni alla notte", una "Sonata per violino e piano", un "Quartetto per archi", varie liriche (Barque d'or, Serenata), una commedia giocosa in tre atti, appunto "La serenata al vento".
    Negli anni successivi fra le opere di maggior rilievo si segnalano "L'infinito", poema sinfonico del 1933; "Interludio", concerto per piano e orchestra del 1934; "Numquam", poema sinfonico per piano e orchestra del 1937.
    Nel 1937 viene bandito dalla Scala un concorso per un'opera nuova che si sarebbe eseguita nella successiva stagione: Finzi vi partecipò con "La serenata al vento"; fra i membri della commissione giudicatrice v'era Pick Mangiagalli, che avvicinò confidenzialmente il giovane collega per preannunziargli la conseguita vittoria nel concorso. L'annunzio ufficiale, atteso per la primavera del 1938, non giunse.
       Grave fu la delusione di Aldo Finzi: egli prese ad affermare che la decisione a lui favorevole della commissione giudicatrice poteva essere stata bloccata soltanto da un veto governativo e che ciò significava l'imminenza di una campagna razziale anche in Italia.
  Fu purtroppo profeta: le leggi razziali sopraggiunsero alcuni mesi più tardi: gli fu preclusa la possibilità di far eseguire le sue musiche; ma la vena non si inaridì: nel 1939 scrive un poema sinfonico (una sorella superstite di Finzi gli dette a guerra finita un titolo tratto da un verso di Dante: "Come all'ultimo suo ciascun artista"); nel 1940 compose "Danza", concerto per 2 pianoforti, sassofoni e orchestra; nel 1942 "Shylock", opera drammatica su libretto di Rossato (l'autore voleva incentrare l'azione sulla denunzia che Shylock fa delle persecuzioni di cui è vittima il suo popolo). Soltanto il primo atto venne musicato: Finzi scrisse poi lui stesso il testo ritmico di altri due atti che non ebbe il tempo di musicare.
  Per vivere si accontentò di lavorare anonimamente o sotto nome di altri: sua è la traduzione ritmica delle "Beatitudini" di Franck in italiano, traduzione che corre sotto altro nome.
Nel 1944 scrisse "Preludio e fuga per organo", composto durante l'occupazione nazista in Torino, dove l'autore si era rifugiato. Una denunzia fa sì che le SS italiane si rechino nell'alloggio ove era nascosto il figlio per cercare il Maestro Aldo Finzi, nascosto altrove; ad evitare la perquisizione dell'alloggio e la cattura del figlio, il maestro si consegna spontaneamente alle SS. Le SS italiane erano corruttibili: comprate, rilasciano Aldo Finzi.
    Tra il 1944 e il 1945 compone il "Salmo per coro e orchestra" per ringraziare il Signore della salvezza ottenuta per il figlio e per sé, e per esprimere la certezza della protezione divina; tutto il salmo glorifica la bontà del Signore.
Muore il 7 febbraio 1945.
    Sepolto sotto falso nome, la moglie dovette attendere il dopoguerra e l'abrogazione delle leggi raziali prima di potere redigere un documento che le permettesse di riportare i resti mortali del compositore nella cappella di famiglia nel Cimitero Monumentale di Milano.